已知二次函数f=x2-ax+a，，有且仅有唯一的实数x值满足f≤0的实数x值满足f≤0．在数列{an}中，满足Sn=f（

题文

已知二次函数f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x值满足f（x）≤0的实数x值满足f（x）≤0．
（1）在数列{a_n}中，满足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通项；
（2）在数列{a_n}中依次取出第1项、第2项、第4项…第2^n-1项…组成新数列{b_n}，求新数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）（理科）设数列{c_n}满足c_n+c_n+1=2n+3，c₁=1，数列{c_n}的前n项和记作H_n，试比较H_n与题（1）中S_n的大小．
（4）（文科）设c_n=nanan+1，求数列{cn}的最大和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵f（x）≤0仅有唯一的x值满足，∴△=0，∴a=0或4，∵a≠0，∴a=4
S_n=n²-4n，a_n=s1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)=-3(n=1)2n-5(n≥2)∴an=2n-5
（2）b_n：b₁=2×1-5，b₂=2×2-5，b₃=2×4-5，…b_n=2×2^n-1-5
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1+2+4+…+2^n-1）-5n
=21-2n1-2-5n=2(2n-1)-5n=2n+1-5n-2
（3）（理科）cn+cn+1=2n+3cn+1+cn+2=2n+5，∴c_n+2-c_n=2，c₁=1，c₂=4
c_n：1，3，5，7，9…
  4，6，8，10…
当n为偶数，n=2k，H_n=5+9+13+…=5k+k(k-1)24=n2+3n2
当n为奇数，n=2k-1，H_n=1+（7+11+15+…）
=1+7（k-1）+(k-1)(k-2)24=n2+3n-22
∴H_n=n2+3n2，n=2k(k=1，2，3…)n2+3n-22，n=2k-1(k=1，2，3…)
当n=2k与n=2k-1时，分别比较H_n与S_n大小（作差比较）
当1≤n≤10时，H_n＞S_n
当n≥11时，H_n＜S_n
 （4）（文科）c_n=n(2n-5)(2n-3)=n4n2-16n+15=14n+15n-16
c₁=13，c₂=-2，当n≥3时，4n+15n单调递增，且4n+15n-16＞0，
∴（c_n）_min=c₂=-2；∴（c_n）_max=c₃=1

解析

s1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2-ax+a，（.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：