已知数列{an}首项a1=1公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2，3，4项，求{an}{bn}的通项公式．设数列{c

题文

已知数列{a_n}首项a₁=1公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2，3，4项，
（1）求{a_n}{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有c1b1+c2b2+c3b3+…+cnbn=an+1成立求c₁+c₂+…+c₂₀₀₇的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列第二，五，十四项分别是a₁+d，a₁+4d，a₁+13d，
∵分别是等比数列{b_n}的第2，3，4项
∴（a₁+4d）²=（a₁+d）（a₁+13d），
解得d=2，a₁=1，
所以a_n=2n-1，
b_n=3^n-1
（2）c1b1+c2b2+c3b3++cn-1bn-1=an（n≥2）
又∵c1b1+c2b2+c3b3+…+cnbn=an+1
∴cnbn=an+1-an，
c_n=2•3^n-1 （n≥2）
当n=1时，c1b1=a2，
所以c₁=a₂b₁=3
c₁+c₂+…+c₂₀₀₇=3²⁰⁰⁷．

解析

c1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}首项a1=1公差d＞0，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：