已知公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，a1、a3、a13成等比数列．求数列{an}的通项公式；设数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn•

题文

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁、a₃、a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{Sn•2nn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，a₁、a₃、a₁₃ 成等比数列，
得a32= a1a13，即 （1+2d）²=1+12d．…（3分）
得d=2或d=0（舍去）．    故d=2．所以a_n =2n-1．   …（7分）
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n=n(1+2n-1)2=n²．…（9分）
再由 Sn•2nn=n•n² 得：T_n =1×2+2×2²+…n×2ⁿ，
可得到2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，…（11分）
相减可得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=2(1-2n)-1-n×2n+1，
T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（14分）

解析

n(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知公差不为零的等差数列{an}中，a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：