有穷数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，现从中抽取某一项后，余下的项的平均值是79．①求数列{an}的通项an；②求这个数列的项数，抽取

题文

有穷数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
①求数列{a_n}的通项a_n；
②求这个数列的项数，抽取的是第几项？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

①由S_n=2n²+n得a₁=S₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，显然满足n=1，
∴a_n=4n-1，
∴数列{a_n}是公差为4的递增等差数列．
②设抽取的是第k项，则S_n-a_k=79（n-1），a_k=（2n²+n）-79（n-1）=2n²-78n+79．
由ak＞a1ak＜an⇒2n2-78n+79＞32n2-78n+79＜4n-1⇒38＜n＜40，∵n∈N^*，∴n=39，
由a_k=2n²-78n+79=2×39²-78×39+79=4k-1⇒k=20．
故数列{a_n}共有39项，抽取的是第20项．

解析

ak＞a1ak＜an

考点

据考高分专家说，试题“有穷数列{an}的前n项和Sn=2n2+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：