设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S2=8，S4=32，数列{bn}为等比数列，且a1=b1，b2=b1．求数列{an}和{bn}

题文

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，S₂=8，S₄=32，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由已知得，2a1+d=84a1+6d=32，
解得a₁=2，d=4
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2…（3分）
因而有，b₁qd=b₁，d=4，
∴q=14
故bn=b1•qn-1=2×14n-1=24n-1．
即{b_n}的通项公式为bn=24n-1…（6分）
（Ⅱ）∵cn=anbn=4n-224n-1=(2n-1)•4n-1
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）4^n-1，
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-3）4^n-1+（2n-1）4ⁿ，…（8分）
两式相减，得3T_n=-1-2（4+4²+4³+…+4^n-1）+（2n-1）4ⁿ
=13[(6n-5)4n+5]，
所以，Tn=19[(6n-5)4n+5]．    …（12分）

解析

2a1+d=84a1+6d=32

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}为等差数列，其前n项和为S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：