已知等差数列{an}满足：a2=5，a4+a6=22，数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan，设数列{bn}的前n项和为Sn．求数列{an

题文

已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22，数列{b_n}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan，设数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴a₁+d=5，（a₁+3d）+（a₁+5d）=22，
解得：a₁=3，d=2．
∴a n=2n+1…（2分）
在b1+2b2+…+2n-1bn=nan
中令n=1得：b₁=a₁=3，
又b₁+2b₂+…+2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1，
∴2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1一na_n．
∴2ⁿb_n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴bn+1=4n+32n，
∴bn=4n-12n-1(n≥2)，…（5分）
经检验，b₁=3也符合上式，
所以数列{b_n}的通项公式为bn=4n-12n-1…（6分）
（Ⅱ）S_n=3+7•12+…+（4n-1）•（12）^n-1，
12S_n=3•12+7•（12）²+…+（4n一5）•（12）^n-1+（4n一1）（12）ⁿ．…（8分）
两式相减得：12S_n=3+4[12+（12）²+…+（12）^n-1]一（4n一1）（12）ⁿ，
∴12S_n=3+4•12[1-(12)n-1]1-12-(4n-1)(12)n，
∴S_n=14-4n+72n-1．    …（10分）
∴∀n∈N^*，S＜14．
∵数列{b_n}的各项为正，
∴S_n单调递增，
又计算得S5=14-2716＜13，S6=14-3132＞13，
满足13＜S_n＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．

解析

a n

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}满足：a2=5，a4.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：