已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn+12bn=1．求数列{an}的通项公式及其前n项和Mn；求证

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn+12bn=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和M_n；
（Ⅱ）求证数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式与前n项和T_n公式；
（III）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
从而a_n=4n-2，M_n=2n²
（Ⅱ）由Tn+12bn=1，
令n=1，则b1+12b1=1，可得b1=23．
当n≥2时，Tn+12bn=1，Tn-1+12bn-1=1，
两式相减得Tn+12bn-Tn-1-12bn-1=0．
可得bn=13bn-1．
所以数列{b_n}是等比数列．
可得bn=2×(13)n，Tn=23[1-(13)n]1-13=1-13n．…（8分）
（Ⅲ）由cn=an•bn=4(2n-1)•(13)n．
则Sn=4[1×13+3×(13)2+5×(13)3+…+(2n-1)×(13)n]．13Sn=4[1×(13)2+3×(13)3+…+(2n-3)×(13)n+(2n-1)×(13)n+1]．
两式相减得23Sn=4[13+2×(13)2+2×(13)3+…+2×(13)n-(2n-1)×(13)n+1]．
整理得Sn=4-4(n+1)3n

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a2=6，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：