在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)求a3、a4，并求出数列{an}的通项公式；设bn=an•an

题文

在数列{a_n}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)
（1）求a₃、a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•an+1an+an+1，求证：对∀n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n＜3n-13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a1=12，a2=15，an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)
∴a₃=18，a₄=111，
猜想an=13n-1，利用数学归纳法证明如下：
①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；
②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=13k-1
则n=k+1时，ak+1=(k-1)akk-2ak=(k-1)•13k-1k-2•13k-1=k-1(3k+2)(k-1)=13(k+1)-1
∴n=k+1时，结论成立
综上，an=13n-1；
（2）证明：bn=an•an+1an+an+1=13（3n+2-3n-1）
∴b₁+b₂+…+b_n=13[（5-2）+（8-5）+…+（3n+2-3n-1）]=13（3n+2-2）
要证b₁+b₂+…b_n＜3n-13，只需证明13（3n+2-2）＜3n-13
即证3n+2-2＜3n-1
即证3n+2-26n+4＜3n-1
即证6n+4＞32，显然成立
∴b₁+b₂+…+b_n＜3n-13．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中a1=12，a2=15，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：