已知n2个正数排成一个n行n列的数阵：第1列 第2列第3列…第n列第1行a1，1 a1，2 a1，3 …a1，n第2行a2，1 a2

题文

（文科）已知n²（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
          第1列     第2列    第3列   …第n列
第1行     a_1，1 a_1，2 a_1，3 …a_1，n
第2行     a_2，1 a_2，2 a_2，3 …a_2，n
第3行     a_3，1 a_3，2 a_3，3 …a_3，n
…
第n行     a_n，1 a_n，2 a_n，3 …a_n，n
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）设A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求证：A_n+n能被3整除． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，a_2，3=8，
a_3，4=20，
所以a_1，3=3，a_1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a_1，1=2，a_1，2=3，
得a_2，2=2a_1，2=6．
（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，a_2，n-1
=2n，a_3，n-2
=2²（n-1），…，a_n-1，2
=3×2^n-2，a_n，1
=2×2^n-1
所以A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1
=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-12A_n
=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ
两式相减，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ
=-(n+1)+2(1-2n-1)1-2+2×2n
=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ
=3×2ⁿ-3-n
所以A_n-n=3×（2ⁿ-1），
故A_n+n能被3整除．

解析

2(1-2n-1)1-2

考点

据考高分专家说，试题“（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：