已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=12n2+112n；数列满足：b3=11，bn+2=2bn+1-bn，其前9项和为153{bn}的通项公式；

题文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=12n2+112n；数列满足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9项和为153
（1）{b_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{c_n}的前n项和，c_n=6(2an-11)(2bn-1)，求使不等式T n＞k57对∀n∈N₊都成立的最大正整数k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=12n2+112n，∴当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n2+112n-12(n-1)2-112(n-1)=n+5
经验证，当n=1时，上式也适合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴bn+1=bn+bn+22，
∴{b_n}是等差数列，设其公差为d．
则b1+2d=119b1+36d=153解得b1=5d=3，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n=6(2an-11)(2bn-1)=6[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]
=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1
∴T_n=（1-13）+（13-15）+（15-17）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1
∵n∈N₊，∴T_n是单调递增数列，
∴当n=1时，（T_n）_min=T₁=1-13=23
∴Tn＞k57对∀n∈N₊都成立，等价于（T_n）_min＞k57成立，
即23＞k57，解得k＜38
∴所求最大正整数k的值为37．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：