已知等差数列{an}的前三项为3x-1，2x+6，33-x．求通项公式an；求当n为何值时，前n项和Sn最大．令bn=an•2n-1

题文

已知等差数列{a_n}的前三项为3x-1，2x+6，33-x（x∈R）．
（1）求通项公式a_n；
（2）求当n为何值时，前n项和S_n最大．
（3）令b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2（2x+6）=3x-1+33-x得x=10
数列{a_n}是首项为29，公差为-3的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-3n+32
（2）由an≥0an+1≤0得-3n+32≥0-3(n+1)+32≤0，293≤n≤323，
当n=10时，前n项和S_n最大
（3）T_n=29+26•2+23•2²+…+（-3n+32）•2^n-1
2T_n=29•2+26•2²+…+（-3n+29）•2^n-1+（-3n+32）•2ⁿ
两式相减得-T_n=29-3（2+2²+…+2^n-1）-（-3n+32）•2ⁿ
化简得T_n=（35-3n）•2ⁿ-35

解析

an≥0an+1≤0

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前三项为3x-1，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：