已知等差数列数﹛an﹜的前n项和为Sn，等比数列﹛bn﹜的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．求an与bn

题文

已知等差数列数﹛a_n﹜的前n项和为S_n，等比数列﹛b_n﹜的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设cn=3bn-λ•2an3（λ∈R），若﹛c_n﹜满足：c_n+1＞c_n对任意的n∈N°恒成立，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴q+3+a2=123+a2=q2，消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a2=q2-3=32-3=6，则d=a₂-a₁=6-3=3，
从而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
bn=b1qn-1=3n-1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，bn=3n-1，∴cn=3bn-λ•2an3=3n-λ2n．
∵c_n+1＞c_n对任意的n∈N^*恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ•3ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2•(32)n对任意的n∈N^*恒成立．
∵y=2•(32)x在区间[1，+∞）上单调递增，∴ymin=2•32=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．

解析

q+3+a2=123+a2=q2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列数﹛an﹜的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：