已知定点F，F′，动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等差数列求动点P的轨迹E的方程过点F且与x轴不重合

题文

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等差数列
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：|PF|+|PF′|=2•22|FF′|=22＞|FF′|，
由椭圆的定义可得：动点P的轨迹E是椭圆，且a=2，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴动点P的轨迹E的方程为x22+y2=1．
（2）①当直线l与x轴垂直时，l：x=1．
此时M(1，22)，N(1，-22)，以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±22，0)，不合题意；
②当直线l与x轴既不垂直也不重合时，设l：y=k（x-1）（k≠0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立x22+y2=1y=k(x-1)，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1．
∴MN的中点坐标为(2k22k2+1，-k2k2+1)．
则线段MN的中垂线m的方程为y+k2k2+1=-1k(x-2k22k2+1)，
即m：y=-xk+k2k2+1，
则直线m与y轴的交点为Q(0，k2k2+1)，
而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上，
∴QM⊥QN，即QM•QN=(x1，y1-k2k2+1)•(x2，y2-k2k2+1)=0，
整理得x1x2+y1y2-k2k2+1（y₁+y₂）+k2(2k2+1)2=0，（*）
由y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-k22k2+1y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k2k2+1
代入（*）解得k=±1．
故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0．

解析

PF

考点

据考高分专家说，试题“已知定点F（1，0），F′（-1，0），.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：