设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30．数列{bn}满足b1=0，bn=2bn-1+1，，①求数列{an}的通项公式；②设

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=4，S₅=30．数列{b_n}满足b₁=0，b_n=2b_n-1+1，（n∈N，n≥2），
①求数列{a_n}的通项公式；
②设C_n=b_n+1，求证：{C_n}是等比数列，且{b_n}的通项公式；
③设数列{d_n}满足dn=4anan+1+bn，求{d_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①由a₂=a₁+d=4，S₅=5a₁+5×42d=30得：a₁=2，d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n…（4分）
②∵b_n=2b_n-1+1，c_n=b_n+1，
∴cncn-1=bn+1bn-1+1=2(bn-1+1)bn-1+1=2（n≥2，n∈N）
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
又∵c₁=b₁+1=1，
∴c_n=b_n+1=1×2^n-1=2^n-1，
∴b_n=2^n-1-1…（9分）
③∵d_n=4an•an+1+b_n=42n•2(n+1)+2^n-1-1=（1n-1n+1）+2^n-1-1，
∴T_n=[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）-n
=（1-1n+1）+1-2n1-2-n
=2ⁿ-n-1n+1（14分）

解析

5×42

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：