已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．求数列{an}的通项公式；设bn=anan+1，是否存在m、k（k＞m≥2，k

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=55，S₂₀=210．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=anan+1，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+n(n-1)2d．（1分）
由已知，得10a1+10×92d=5520a1+20×192d=210.（3分）
即2a1+9d=112a1+19d=21.解得a1=1d=1.（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=n（n∈N^*）．（6分）
（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b₁、b_m、b_k成等比数列，
则b_m²=b₁b_k．（7分）
因为bn=anan+1=nn+1，（8分）
所以b1=12，bm=mm+1，bk=kk+1．
所以(mm+1)2=12×kk+1．（9分）
整理，得k=2m2-m2+2m+1．（10分）
因为k＞0，所以-m²+2m+1＞0．（11分）
解得1-2＜m＜1+2．（12分）
因为m≥2，m∈N^*，
所以m=2，此时k=8．
故存在m=2、k=8，使得b₁、b_m、b_k成等比数列．（14分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：