已知各项均为正数的数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nann=(a1+1)an3(n∈N*)求a1，a2，a3的值，猜测an的表达式并给予证明；

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a1+2a2+3a3+…+nann=(a1+1)an3(n∈N*)
（I）求a₁，a₂，a₃的值，猜测a_n的表达式并给予证明；
（II）求证：sinπan≥2an；
（III）设数列{sinπanan+1}的前n项和为Sn，求证：13＜Sn＜π2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=2，a₂=3，a₃=4，猜测：a_n=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a₁=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=k+1
由条件a1+2a2+3a3+…+nan=n(an+1)an3∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)(an-1+1)an-13(n≥2)
两式相减得：nan=n(an+1)an3-(n-1)(an-1+1)an-13
则当n=k+1时，(k+1)ak+1=(k+1)(ak+1+1)3-k(ak+1)ak3⇒a2k+1-2ak+1-k(k+2)=0∴a_k+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N^*，a_n=n+1成立
（Ⅱ）设f(x)=sinx-2πx(0＜x＜π2)
由f′(x)=cosx-2π=0⇒x=arccos2π
由y=cosx的单调性知f（x）在(0，π2]内有且只有一个极大值点，
且f(0)=f(π2)=0∴在(0，π3)内f(x)＞0
即sinx＞2πx(0＜x＜π2)．
令x=πan，当n≥2时有πan∈(0，π2)，∴sinπan＞2an
又当n=1时，πan=π2，∴sinπan=2an∴sinπan≥2an(n∈N*)
（Ⅲ）∵a_na_n+1≥6，∴1anan+1∈(0，π2)
由（Ⅱ）可知sinπanan+1＞2anan+1∴Sn=sinπ2•3+sinπ3•4+…+sinπ(n+1)•(n+2)＞2(12-13+13-14+…+1n+1-1n+2)=2(12-1n+2)≥13
即对一切n∈N*，Sn＞13．
又∵在(0，π2)内sinx＜x∴Sn=sinπ2•3+sinπ3•4+…+sinπ(n+1)•(n+2)＜π(12-13+13-14+…+1n+1-1n+2)=π(12-1n+2)＜π2
即对一切n∈N*，Sn＜π2．∴13＜Sn＜π2．

解析

n(an+1)an3

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}满足：a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：