等差数列{an}中，a2+a3+a4=15，a5=9．求数列{an}的通项公式；设bn=3an+12，求数列{an+12×bn}的前n项和Sn．

题文

等差数列{a_n}中，a₂+a₃+a₄=15，a₅=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=3an+12，求数列{an+12×b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d首项为a₁，由题意得，
a2+a3+a4=15a5=9，即3a1+6d=15a1+4d=9，
解得a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=3an+12=3ⁿ，∴an+12×bn=n3ⁿ，
∴S_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=3(1-3n)1-3-n×3ⁿ⁺¹
=3(3n-1)2-n×3ⁿ⁺¹，
∴S_n=3+(2n-1)•3n+14．

解析

a2+a3+a4=15a5=9

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，a2+a3+a4=1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：