已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an＞0，且a13+a23+…+an3=2．求a1，a2的值；求数列{an}的通项

题文

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{1anan+2}的前n项和为S_n，不等式Sn＞13loga(1-a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，有a₁³=a₁²，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
当n=2时，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，
将a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）由于a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²，①
则有a₁³+a₂³++a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．③
同样有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
故a_n=n．
（3）由（2）知a_n=n，则1anan+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2)．
所以Sn=1a1a3+1a2a4+1a3a5++1an-1an+1+1anan+2=12(1-13)+12(12-14)+12(13-15)++12(1n-1-1n+1)+12(1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2)．
∵Sn+1-Sn=1(n+1)(n+3)＞0，
∴数列{S_n}单调递增．
所以(Sn)min=S1=13．
要使不等式Sn＞13loga(1-a)对任意正整数n恒成立，只要13＞13loga(1-a)．
∵1-a＞0，∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜12．
所以，实数a的取值范围是(0，12)．

解析

1anan+2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：