数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．求数列{an}、{bn}的通项公式；设cn=1

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=1bnbn+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：13≤Tn＜12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即 anan-1=2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=1bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)…（9分）
∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1…（10分）
∵n∈N^*，∴Tn=12(1-12n+1)＜12…（11分）Tn-Tn-1=n2n+1-n-12n-1=1(2n+1)(2n-1)＞0
∴数列{T_n}是一个递增数列                                           …（12分）
∴Tn≥T1=13．…（13分）
综上所述，13≤Tn＜12…（14分）

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且an是S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：