设{a}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=14．求a1的值；求数列{an}的通项公式；对于数列{bn}，令bn=1sn，T

题文

设{a}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=14（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{b_n}，令b_n=1sn，T_n是数列{b_n}的前n项和，求limn→∞T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁=S₁=14(a1-1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3
由Sn=14(an-1)(an+3)得Sn-1=14(an-1-1)(an-1+3)．
∴当n≥2时，an=14(a2n-a2n-1)+2(an-an-1)
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1
（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴bn=1Sn=12(1n-1n+2)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
 =12(1-13+12-14++1n-1-1n+1+1n-1n+2)
=12[32-2n+3(n+1)(n+2)]=34-2n+32(n+1)(n+2)
∴limn→∞Tn=limn→∞[34-2n+32(n+1)(n+2)]=34(13分)
由an+bn2＜0，得a1+(b1-a1)•(12)n＜0
得a1+b12n＜-a，得b1-a1-a1＜2n
∴log2a1-b1a1＜n
因而n满足log2a1-b1a1＜n的最小整数（14分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设{a}是正数数列，其前n项和Sn满足S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：