数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2．求a7，a5，a3，a6；求数列{an}的通项公式an；求证：1

题文

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；        
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：1a12+1a22+1a32+…+1an2＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，
∴a₄=4，a₇=7
∵a_n+2≥a_n+2
∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，
∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6
（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）
∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）
∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1
∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3
∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1
∴{a_n}为等差数列，公差d=1．
∴a_n=n
（3）证明：n=1时，1a12=1＜2成立n＞1时，
∵1an2=1n2＜1n(n-1)=1n-1-1n（n＞1）
∴1a12+1a22+1a32+…+1an2
＜1+(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)=2-1n＜2
∴1a12+1a22+1a32+…+1an2＜2

解析

1a12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1，an+3=an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：