已知函数f对任意x∈R都有f+f=12求f，f+f的值；若数列{an}满足an=f+f（1n

题文

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12
（1）求f（12），f（1n）+f（n-1n）的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n）+f（1），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=44an-1（n∈N₊），c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在f（x）+f（1-x）=12中，
令x=12，可得f（12）+f（12）=12，所以f（12）=14
令x=1n，可得f（1n）+f（n-1n）=12
（2）a_n=f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n）+f（1），又可以写成
a_n=f（1）+f（n-1n）+f（n-2n）+…+f（1n）+f（0），
两式相加得，2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（1n）+f（n-1n）]+…[f（1）+f（0）]
=（n+1）[f（0）+f（1）]=n+12
∴a_n=n+14
（3）b_n=44an-1=4n，c_n=b_nb_n+1=4n•4n+1=16（1n-1n+1）
∴T_n=16[（11-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=16（1-1n+1）=16nn+1

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：