设函数f(x)=(12)x，数列{an}满足a1=f(0)，f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)求数列{an}的通项公式；令bn=(12)

题文

设函数f(x)=(12)x，数列{a_n}满足a1=f(0)，f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 bn=(12)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1，试比较 S_n与43Tn的大小，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=(12)x∴a1=f(0)=(12)0=1，
又∵f(an+1)=1f(-2-an)
∴(12)an+1=1(12)-2-an=(12)an+2．…（2分）
∴a_n+1=a_n+2即 a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n}是首项为1，公差为 2 的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵bn=(12)an=(12)2n-1∴bn+1bn=(12)2n+1(12)2n-1=14…（6分）
即数列{b_n}是首项为 12，公比为 14的等比数列
∴Sn=b1+b2+…+bn=12[1-(14)n]1-14=23[1-(14)n]…（7分）Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan-1=11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1)=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)…（10分）
∴43Tn=23(1-12n+1)
故比较Sn与43Tn的大小，只需比较 (14)n与12n+1的大小即可       …（11分）
即只需比较 2n+1与4ⁿ的大小
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+C_n¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故 Sn＞43Tn   …（13分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=(12)x，数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：