已知数列{an}，{bn}分别为等差和等比数列，且a1=1，d＞0，a2=b2，a5=b3，a14=b4．求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ

题文

已知数列{a_n}，{b_n}分别为等差和等比数列，且a₁=1，d＞0，a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄，b₂，b₃，b₄成等比数列
∴a₂，a₅，a₁₄成等比数列
∵a₁=1
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）²
∵d＞0
解可得d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∵a₂=b₂=3，a₅=b₃=9
∴q=3，bn=b2qn-2=3•3^n-2=3^n-1
（2）设c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1
∴s_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1
3s_n=1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ
两式相减可得，-2s_n=1+2（3+3²+…+3^n-1-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•3(1-3n-1)1-3-(2n-1)•3n
=3ⁿ-2-（2n-1）•3ⁿ
∴sn=(n-1)•3n+1

解析

3(1-3n-1)1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{bn}分别为等差和等.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：