设数列{an}是首项为6，公差为1的等差数列；Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n求{an}及{bn}的通项公式an和bn；若对任意的正

题文

设数列{a_n}是首项为6，公差为1的等差数列；S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）若对任意的正整数n，不等式a(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)-1n-2+an≤0恒成立，求正数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=a₁+（n-1）d=6+n-1=n+5
又当n=1时，b₁=S₁=3；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1
上式对n=1也成立，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），总之，a_n=n+5，b_n=2n+1
（2）将不等式变形并把a_n=n+5代入得：a≤12n+3(1+1b1)(1+1b2)(1+1b3)…(1+1bn)，g(n)=12n+3(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)
∴g(n+1)=12n+5(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn+1)
∴g(n+1)g(n)=2n+32n+5(1+1bn+1)=2n+32n+5•2n+42n+3=2n+42n+52n+3
又∵(2n+5)(2n+3)＜(2n+5)+(2n+3)2=2n+4
∴g(n+1)g(n)＞1，即g（n+1）＞g（n）
∴g（n）随n的增大而增大，g(n)min=g(1)=15(1+13)=4515，
∴0＜a≤4515

解析

12n+3

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是首项为6，公差为1的等差.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：