已知数列{an}的前n项和Sn=n，数列{bn}的前n项和为Tn，且有Tn+1-bn+1Tn+bn=1，b1=3．求数列{an}，{bn}的通项

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+2），数列{b_n}的前n项和为T_n，且有Tn+1-bn+1Tn+bn=1，b1=3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）设cn=anbn，试判断数列{c_n}的单调性，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，设M_n是数列{c_n}的前n项和，证明：Mn≥4-n+22n-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=n（n+2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式
∴a_n=2n+1
∵Tn+1-bn+1Tn+bn=1
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比为2的等比数列
∴bn-1=(b1-1)•2n-1=2n
∴bn =2n+1
（2）cn=anbn=2n+12n+1，数列{c_n}为递减数列
证明：∵cn+1-cn=2n+32n+1+1-2n+12n+1
=(1-2n)•2n+2(2n+1+1)(2n+1)＜0
∴数列{c_n}为递减数列
（3）证明：∵cn=anbn=2n+12n+1≥2n2n=n2n-1
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥1+22+322+…+n2n-1
令rn=1+22+322+…+n2n-1①
∴12rn=12+222+323+…+n2n②
①-②：12rn=1+12+122+123+…+12n-1-n2n=2-n+22n
∴rn=4-n+22n-1
∴1+22+322+…+n2n-1=4-n+22n-1
∴Mn≥4-n+22n-1

解析

Tn+1-bn+1Tn+bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=n（n+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：