已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2n；{bn}为首项是2的等差数列，且b3•S5=372．求{bn}的通项公式；设{bn}的前n项和为Tn，

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2ⁿ；{b_n}为首项是2的等差数列，且b₃•S₅=372．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）设{b_n}的前n项和为T_n，求1T1+1T2+…1Tn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n=2ⁿ，
∴{a_n}是首项为2公比为2的等比数列．
∴S5=2(1-25)1-2=26-2=62…（2分）
又∵b₃•S₅=372，
∴b₃=6，…（3分）
∵{b_n}为首项是2的等差数列．
∴b₃=2+2d=6，
∴d=2，…（4分）
∴b_n=2+2（n-1）=2n（n∈N^*）．…（6分）
（2）∵b_n=2n，
∴Tn=(2+2n)n2=n(n+1)…（8分）
∴1Tn=1n(n+1)=1n-1n+1…（10分）
∴1T1+1T2+…1Tn
=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1…（12分）

解析

2(1-25)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，an=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：