在等差数列{an}中，a1=3，前n项和Sn满足条件Sn+2Sn=n+4n，n=1，2，3，…求数列{an}的通项公式；记bn=1Sn，数列{bn}

题文

在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和S_n满足条件Sn+2Sn=n+4n，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=1Sn，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由Sn+2Sn=n+4n对一切正自然数n都成立可知，
当n=1时，得：S3S1=3a1+3da1=5，又a₁=3，所以d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由（Ⅰ）知等差数列{a_n}的前n项和Sn=n(3+2n+1)2=n（n+2）
∴bn=1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2)
=12(1+12-1n+1-1n+2)
=34-12(1n+1+1n+2)

解析

Sn+2Sn

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a1=3，前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：