已知等差数列{an}的前n项之和为Sn，且a4S4=25，S6-S3=15．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足对任意的正整数m，n都有bm

题文

已知等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，且a4S4=25，S6-S3=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足对任意的正整数m，n都有b_m+n=b_mb_n，且b1=12．对数列{a_nb_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）由已知，得a4+a5+a6=15 a4a1  +a2+a3+a4=25
整理得3a1+12d=15a1+3d4a1+6d =25，解得a1=d=1，所以an=n
（2）令m=1，得b_1+n=b₁b_n=12b_n，所以数列{bn}是以且b1=12为首项，以12为公比的等比数列．
b_n=12n，a_nb_n=n2n，
Tn=12 +222+ …+n-12n-1 +n2n
2Tn=1+222+323+ …+n2n-1
两式相减得Tn=1+12 +122+ …+12n-1-n2n=2-22n-n2n=2-n+22n

解析

a4+a5+a6=15 a4a1  +a2+a3+a4=25

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项之和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：