已知函数f=x2-ax+b的图象经过坐标原点，且f′=1，数列{an}的前n项和Sn=f．求数列{an}的通项

题文

已知函数f（x）=x²-ax+b （a，b∈R）的图象经过坐标原点，且f′_（x）=1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+1+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵y=f（x）的图象过原点，∴f（x）=x²-ax
由f′_（x）=2x-a得f′_（x）=2-a=1，∴a=1，∴f_（x）=x²-x（3分）
∴S_n=n²-n，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，（n≥2）（4分）
∵a₁=S₁=0，所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N⁺）．（6分）
（II）由a_n+1+log₃ⁿ=logbn3得b_n=n-3²ⁿ，（8分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-3²+2-3⁴+3-3⁶+…+n-3²ⁿ （1）（9分）
∴9T_n=3⁴+2-3⁶+3-3⁸+…+n-3²ⁿ⁺² （2），（10分）
（2）-（1）得8T_n=n-3²ⁿ⁺²-9-（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ ）=n-3²ⁿ⁺²-32n+2-348，（11分）
∴T_n=n-32n+28-32n+2-8164=(8n-1)32n+964．（12分）

解析

logbn3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-ax+b（a，b.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：