已知点Pn都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1．求数列{an}，{bn}的通项

题文

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)=an，n为奇数bn，n为偶数问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：1|p1p2|2+1|p1p3|2+…+1|p1pn|2＜25（n≥2，n∈N*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意知P₁（-1，0）（1分）
∴a₁=-1，b₁=0（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k为奇数，
则f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解（6分）
若k为偶数，
则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）证明：|p1pn|2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)2
（1）当n=2时1|p1p2|2+1|p2p3|2++1|p1pn|2=15＜25成立．（11分）
（2）当n≥3，n∈N^*时，
1|p1p2|2+1|p1p3|2++1|p1pn|2=15[112+122++1(n-1)2]λx₁²-2λx₁+λ-1=0．（12分）
=15(1+1-1n-1)＜15(1+1)=25成立．（13分）
综上，当n≥2，n∈N*时，1|p1p2|2+1|p1p3|2+1|p1pn|2＜25成立．（14分）

解析

p1pn

考点

据考高分专家说，试题“已知点Pn（an，bn）（n∈N*）都在.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：