设{an}是各项都为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=25．求数列{an}，{bn}的通项公式；设

题文

设{a_n}是各项都为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n-b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，等差数列{b_n}的公差为d，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
∴q²+（1+4d）=21，q⁴+（1+2d）=25
解之得q=2，d=4（舍去负值）
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，b_n=b₁+（n-1）d=4n-3
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，{b_n}的通项公式b_n=4n-3；
（2）由（1）得{a_n}的前n项和S_n=1-2n1-2=2ⁿ-1，
∴S_n-b_n=2ⁿ-1-（4n-3）=2ⁿ-4n+2
因此，{S_n-b_n}的前n项和为
T_n=（2¹-4×1+2）+（2²-4×2+2）+…+（2ⁿ-4×n+2）
=（2+2²+…+2ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n
=2ⁿ⁺¹-2-4×n(n+1)2+2n=2ⁿ⁺¹-2n²-2．

解析

1-2n1-2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是各项都为正数的等比数列，{b.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：