已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．求数列{an}的通项公式；设bn=21og3an，求证：数列{bn}成

题文

已知等比数列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=21og₃a_n，求证：数列{b_n}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1-1b1)(1-1b2)…(1-1bn)(-1)n=1＜1bn+1．对一切，n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由3a₂，2a₃，a₄ 成等差数列，
所以4a₃=a₄+3a₂，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a₁≠0，q≠0，
∴q²-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．
∵q≠1，∴q=3，
由a₁=3，得an=a1qn-1=3n；
（2）∵an=3n，∴bn=2log33n=2n．
得b_n-b_n-1=2．
∴{b_n}是首项为9，公差为2的等差数列；
（3）由b_n=2n，
设cn=1(1-1b1)(1-1b2)…(1-1bn)bn+1，则不等式等价于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n．
cn+1cn=bn+1(1-1bn+1)bn+1+1=2n+1(1-12n+2)2n+3=2n+2(2n+1)(2n+3)=4n2+8n+44n2+8n+3＞1．
∵c_n＞0，∴c_n+1＞c_n，数列{c_n}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使的不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n对一切n∈N^*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(cn)min=c1=233；
当n为偶数时，得-λ＜(cn)min=c2=8515，即λ＞-8515．
综上，λ∈(-8515，233)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．

解析

1(1-1b1)(1-1b2)…(1-1bn)bn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：