已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N

题文

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．记集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前50项和S₅₀；
（Ⅲ）把集合∁_UA中的元素从小到大依次排列构成数列{d_n}，写出数列{d_n}的通项公式，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，则q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）根据数列{a_n}和数列{b_n}的增长速度，数列{c_n}的前50项至多在数列{a_n}中选50项，数列{a_n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，数列{b_n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a_n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a₄₆=136＞128，故数列{c_n}的前50项应包含数列{a_n}的前46项和数列{b_n}中的2，8，32，128这4项．
所以S₅₀=46(a1+a46)2+2+8+32+128=3321；              
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{d_n}的通项公式为d_n=2^2n-1．
∵d_n=b_2n，∴只需证明数列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），
证明如下：∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若∃m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以，若b_2n-1∈A，则b_2n+1∈A．因为b₁∈A，重复使用上述结论，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因为“3×2×4^n-1”为数列{a_n}的公差3的整数倍，
所以说明b_2n 与b_2n+2（n∈N^*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b₂=2∉A，即有b₄=2∉A，重复使用上述结论，即得b_2n∉A，
∴d_n=2^2n-1；

解析

46(a1+a46)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的通项公式为an=3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：