设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N+，都有ban-2n=Sn，bn=an-n•2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．当b=2时，求

题文

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求{b_n}的通项公式，进而求出{a_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的通项a_n以及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1．
两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，
即an+1=ban+2n．①
（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n，
∴an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)，
又a1-1×21-1=2-1=1≠0，
所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
可得，bn=2n-1，
由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)•2n-1．
（2）当b≠2时，由①得
an+1-12-b•2n+1=ban+2n-12-b•2n+1=ban-b2-b•2n=b(an-12-b•2n)
若b=0，an=2，n=12n-1，n≥2，Sn=2n；
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2；
若b≠0，1，数列{an-12-b•2n}是以2(1-b)2-b为首项，以b为公比的等比数列，
故an-12-b•2n=2(1-b)2-b•bn-1，
∴an=12-b[2n+(2-2b)bn-1]，
∴S_n=12-b(2+22+23+…+2n)+2(1-b)2-b(1+b+b2+…+bn-1)
=12-b×2(2n-1)2-1+2(1-b)2-b×bn-1b-1
=2(2n-bn)2-b
当b=1时，Sn=2n+1-2也符合上式．
所以，当b≠0时，Sn=2(2n-bn)2-b．

解析

12-b

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：