设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=9n-n2．求数列{an}的通项公式；设bn=1n(12-an)，数列{bn}的前n项和为Tn，

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=9n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1n(12-an)（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N⁺，均有T_n＞m2-3m+720，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=9n-n²-（-n²+11n-10）=-2n+10…（5分）
又a₁=S₁=8，适合上式 …（6分）
所以a_n=10-2n（n∈N^*）…（7分）
（2）因为b_n=1n(2n+2)=12（1n-1n+1）…（10分）
所以T_n=12（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=12（1-1n+1）…（12分）
又因为对任意的n∈N^*，T_n＞m2-3m+720恒成立，
所以（T_n）_min＞m2-3m+720…（13分）
因为当n=1时，（T_n）_min=14，所以14＞m2-3m+720…（14分）
解之得1＜m＜2 …（16分）

解析

1n(2n+2)

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：