已知数列{an}的前n项和Sn=2an-3•2n+4，n=1，2，3，…．求数列{an}的通项公式；设Tn为数列{Sn-4}的前n项和，求Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{S_n-4}的前n项和，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，a_n=2a_n-1+3×2^n-1，于是an2n=an-12n-1+32；方法
令bn=an2n，则数列{b_n}是首项b₁=1、公差为32的等差数列，bn=3n-12；
∴a_n=2ⁿb_n=2^n-1（3n-1）．
（Ⅱ）∵S_n-4=2ⁿ（3n-4）=3×2ⁿ×n-2ⁿ⁺²，
∴T_n=3（2×1+2²×2++2ⁿ×n）-4（2+2²++2ⁿ），
记W_n=2×1+2²×2++2ⁿ×n①，则2W_n=2²×1+2³×2++2ⁿ⁺¹×n②，
①-②有-W_n=2×1+2²++2ⁿ-2ⁿ⁺¹×n=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴W_n=2ⁿ⁺¹（n-1）+2．
故Tn=3×[2n+1(n-1)+2]-42(1-2n)1-2=2n+1(3n-7)+14•

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=2an-.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：