已知数列{log2}为等差数列，且a1=3，a3=9．求数列{an}的通项公式；证明1a2-a1+1a3-a2+…+1an+

题文

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）证明：因为1an+1-an=12n+1-2n=12n，
所以1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an=121+122+123+…+12n=12-12n×121-12=1-12n＜1，
即得证．

解析

1an+1-an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{log2（an-1）}（n∈N.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：