已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．求数列an的通项公式an；若数列bn是等差数列，且bn=

题文

已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）若数列b_n是等差数列，且bn=Snn+c，求非零常数c；
（3）若（2）中的b_n的前n项和为T_n，求证：2Tn-3bn-1＞64bn(n+9)bn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n为等差数列，a₃•a₄=117，a₂+a₅=22
又a₂+a₅=a₃+a₄=22
∴a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根，d＞0
∴a₃=9，a₄=13
∴a1+2d=9a1+3d=13
∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知，sn=n+n(n-1)×42=2n2-n
∵bn=snn+c=2n2-nc+n
∴b1=11+c，b2=62+c，b3=153+c，
∵b_n是等差数列，∴2b₂=b₁+b₃，∴2c²+c=0，
∴c=-12（c=0舍去），
（3）由（2）得bn=2n2-nn-12=2n，Tn=2n+n(n-1)×22=n2+n=(n+1)n
2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4≥4，
但由于n=1时取等号，从而等号取不到2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4＞4，
∴64bn(n+9)bn+1=64×2n(n+9)•2(n+1)=64nn2+10n+9=64n+9n+10≤4，
n=3时取等号（15分）
（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以2Tn-3bn-1＞64bn(n+9)bn+1．

解析

a1+2d=9a1+3d=13

考点

据考高分专家说，试题“已知公差大于零的等差数列an的前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．