设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an)2，证明{an}是等差数列．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an)2，证明{a_n}是等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用数学归纳法证明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁．
当n=2时，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a_k=a₁+（k-1）d．由题设，有
S_k=k(a1+ak)2，S_k+1=(k+1)(a1+ak+1)2，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）(a1+ak+1)2=k(a1+ak)2+ak+1
把a_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a_n}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn-1=(n-1)(a1+an-1)2，Sn=n(a1+an)2．
所以a_n=S_n-S_n-1=n(a1+an)2-(n-1)(a1+an-1)2
同理有
a_n+1=(n+1)(a1+an-1)2-n(a1+an)2．
从而
a_n+1-a_n=(n+1)(a1+an-1)2-n（a₁+a_n）+(n-1)(a1+an-1)2，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
从而{a_n}是等差数列．

解析

k(a1+ak)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．