设数列{an}满足：Sn=an24+n，an＞0．求{an}的表达式；将数列{an}依次按1项，2项，3项循环地分为，，（a4

题文

设数列{a_n}满足：Sn=an24+n，a_n＞0．
（1）求{a_n}的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项，2项，3项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₂₀₁₀的值；
（3）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，…，m（m≥3）项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，S1=a124+1，a12-4a1+4=0，解得a₁=2，
当n≥2时，a n=S n-Sn-1=(an24+n)-(an-124+n-1)，整理得（a_n+a_n-1-2）（a_n-a_n-1-2）=0，
所以a_n-a_n-1=2，或a_n+a_n-1=2（不合题意，舍去，否则a_2n=0与已知矛盾），
∴数列{a_n}是等差数列，且公差为2，首项a₁=2，从而a_n=2n．（5分）
（2）数列{a_n}依次按1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b₂₀₀₉是第670组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，组成一个首项为b₃=8+10+12=30，公差为d=36的等差数列．所以b₂₀₁₀=30+（670-1）×36=24114．（10分）
（3）当n是m的整数倍时，求b_n的值．
数列{a_n}依次按1项、2项、3项，，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），，（m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m）；（m²+m+2）（m²+m+4，m²+m+6），，（2m²+2，2m²+4，，2m²+2m），（2m²+2m+2），
第m组，第2m组，，第km（k∈N^*）组的第1个数，第2个数，，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m公差均为m（m+1）
则第m组、第2m组，，第km组，的各数之和也组成一个等差数列，其公差为m²（m+1）
第m组的m个数之和为m[(m2-m+2)+(m2+m)]2=m3+m
∴当n=km时，b_n=b_km=m³+m+（k-1）m²（m+1）．（16分）

解析

a124

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：Sn=an24+n，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．