已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}．设Sn，Tn分别是数列{bn}和数列

题文

已知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列{b_n}．设S_n，T_n 分别是数列{b_n}和数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）a₁₀是数列{b_n}的第几项；
（3）若a_m是数列{b_n}的第f（m）项，试比较S_f（m）与2T_m的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{b_n}中前6项依次为1，2，3，2，2，5，∴数列{b_n}的前6项和S₆为1+2+3+2+2+5=15
（2）∵数列{b_n}中，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，
∴a₁₀在数列{b_n}中的项数为10+1+2+4+…+2⁸=521
即a₁₀是数列{b_n}的第521项；
（3）a_n=2n-1，在数列{b_n}中，a_n及其前面所有项的和为1+3+…+（2m-1）+2+4+…+2^m-1=2^m+m²-2
即S_f（m）=2^m+m²-2又T_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²
∴S_f（m）-2T_m=（2^m+m²-2）-2m²=2^m-（m²+2）…（10分）
当m=1时，2^m=2，m²+2=3，故2^m＜m²+2；
当m=2时，2^m=4，m²+2=6，故2^m＜m²+2；
当m=3时，2^m=8，m²+2=11，故2^m＜m²+2；
当m=4时，2^m=16，m²+2=18，故2^m＜m²+2； …（12分）
当m≥5时，2m=1+C1m+C2m+…+Cm-2m+Cm-1m+1≥2(1+m+m(m-1)2)
因而当m=1，2，3，4时，S_f（m）＜2T_m；
当m≥5时且m∈N^*时，S_f（m）＞2T_m…（14分）

解析

C1m

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为1，公差为2的等.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．