已知数列{an}满足a1=1，an-1an=an-1+11-an．求证：数列{1an}是等差数列；求数列{anan+1}的前n项

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，an-1an=an-1+11-an（n∈N^*，n＞1）．
（1）求证：数列{1an}是等差数列；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）设f_n（x）=S_nx²ⁿ⁺¹，b_n=f'_n（2），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：当n≥2时，由an-1an=an-1+11-an得：a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0
两边同除以a_na_n-1得：1an-1a n-1=2（2分）
∴{1an}是以1a1=1为首项，d=2为公差的等差数列（4分）
（2）由（1）知：1an=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=12n-1（6分）
∴anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)Sn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=n2n+1（8分）
（3）fn(x)=n2n+1•x2n+1，
∴b_n=n•2²ⁿ
T_n=4+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ
4T_n=4²+2×4³+3×4⁴+…+（n-1）×4ⁿ+n×4ⁿ⁺¹
相减得：-3Tn=4+42+43+…+4n-n×4n+1=-(3n-1)×4n+1+43
∴Tn=(3n-1)×4n+1+49（12分）

解析

an-1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an-1a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．