已知数列{an}，首项a1=3且2an=Sn•Sn-1．求证：{1Sn}是等差数列，并求公差；求{an}的通项公式；数列{an}中是

题文

已知数列{a_n}，首项a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求证：{1Sn}是等差数列，并求公差；
（2）求{a _n }的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在自然数k₀，使得当自然数k≥k₀时使不等式a_k＞a_k+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）．由已知当n≥2时2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）⇒1Sn-1Sn-1= -12（n≥2）⇒{1Sn}是以1S1=1a1=13为首项，公差d=-12的等差数列．
（2）．∵1Sn=1S1+(n-1)d=13+(n-1)(-12)=5-3n6，Sn=65-3n(n≥ 2)
从而an=12Sn•Sn-1=18(3n-5)(3n-8)，
∴an=3  (n=1)18(3n-5)(3n-8)(n≥2)
（3）.令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得23＜k＜53或k＞83．故只需取k=3，则对大于或等于3的一切自然数总有ak＞ak+1成立，这样的自然数存在最小值3.

解析

1Sn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，首项a1=3且2an=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．