已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列若an=3n+1，是否存在m，n∈N*，有am+am+1=ak？请说明理由；若bn=a

题文

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，
整理后，可得k-2m=43，∵m、k∈N，
∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）当m=1时，则b₁•b₂=b_k，
∴a²•q³=aq^k∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整数
反之当a=q^c时，其中c是大于等于-2的整数，则b_n=q^n+c，
显然b_m•b_m+1=q^m+c•q^m+1+c=q^2m+1+2c=b_k，其中k=2m+1+c
∴a、q满足的充要条件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整数
（3）设b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，
当p为偶数时，（*）式不成立．
由（*）式得3m+1(1-3p)1-3=2k+1，
整理得3^m+1（3^p-1）=4k+2
当p=1时，符合题意．
当p≥3，p为奇数时，3^p-1=（1+2）^p-1
=C_p⁰+C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p-1
=C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p
=2（C_p¹+C_p²•2++C_p^p•2^p-1）
=2[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]
∴由3^m+1（3^p-1）=4k+2，得3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．
∴当p为奇数时，命题都成立．

解析

43

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公差为d的等差数列，{bn.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．