设f=xa(x+2)，方程f=x有唯一解，数列{xn}满足f=1，xn+1=f．求数列{xn}的通项公式；已

题文

设f（x）=xa(x+2)，方程f （x）=x有唯一解，数列{x_n}满足f （x₁）=1，x_n+1=f （x_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=12，a_n+1=14（2+a_n）²-2anan+2（n∈N^*），求证：对一切n≥2的正整数都满足34＜1x1+a1+12x2+a2+…+1nxn+an＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=x得ax²+（2a-1）x=0（a≠0）
∴当且仅当a=12时，f（x）=x有唯一解x=0，
∴f(x)=2xx+2
当f（x₁）=2x12+x1=1得x₁=2，由x_n+1=f （x_n）=2xnxn+2可得1xn+1-1xn=12
∴数列{1xn}是首项为1x1=12，公差为12的等差数列
∴1xn=12+12(n-1)=12n
∴xn=2n
（2）∵a₁=12，a_n+1=14（2+a_n）²•2an2+an=(2+an)an2 又a1=12
∴1an+1=2an(2+an)=1an-1an+2 且a_n＞0，
∴1an+2=1an-1an+1
即1nxn=1an-1an+1
当n≥2时，1x1+a1+12x2+a2+…+1nxn+an≥12+12+12+58=82105＞34
1x1+a1+12x2+a2+…+1nxn+an
=(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1an-1an+1）
=1a1-1an+1=2-1an+1＜2
∴对一切n≥2的正整数都满足34＜1x1+a1+12x2+a2+…+1nxn+an＜2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=xa(x+2)，方程f（x）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．