设等差数列{an}，{bn}前n项和Sn，Tn满足SnTn=An+12n+7，且a3b4+b6+a7b2+b8=25，S2=6；函数g(x)=12(x-1)，且

题文

设等差数列{a_n}，{b_n}前n项和S_n，T_n满足SnTn=An+12n+7，且a3b4+b6+a7b2+b8=25，S₂=6；函数g(x)=12(x-1)，且c_n=g（c_n-1）（n∈N，n＞1），c₁=1．
（1）求A；
（2）求数列{a_n}及{c_n}的通项公式；
（3）若dn=an(n为奇数)cn(n为偶数)，试求d1+d2+…+dn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}，{b_n}是等差数列，
由a3b4+b6+a7b2+b8=25，得a32b5+a72b5=2a52b5=a5b5=25，
而S9T9=a 1+a92×9b1+b92×9=a5b5=25，
∴9A+12×9+7=25，解得A=1；
（2）令S_n=kn（n+1），∵S₂=6，得6k=6，k=1，即Sn=n2+n．
当n=1时，a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
该式对n=1时成立，所以a_n=2n；
由题意cn=12(cn-1-1)，变形得cn+1=12(cn-1+1)（n≥2），
∴数列{c_n+1}是12为公比，以c₁+1=2为首项的等比数列．
cn+1=2•(12)n-1，即cn=(12)n-2-1；
（3）当n=2k+1时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k+1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1-1）+（122-1）+…+（122k-2-1）]
=2(k+1)2+43[1-(14)k]-k=2k2+3k+2+43[1-(14)k]
=n2+n+22+43[1-(12)n-1]．
当n=2k时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k-1）]+[（1-1）+（122-1）+…+（122k-2-1）]
=2k2-k+43[1-(14)k]=n2-n2+43[1-(12)n]．
综上：d1+d2+…dn=n2+n+22+43[1-(12)n-1](n为正奇数)n2-n2+43[1-(12)n](n为正偶数)．

解析

a3b4+b6

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}，{bn}前n项和Sn.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．