已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，∀n≥2，3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列．求Sn；对任意k∈N*，将数列{an}的项落入区

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，∀n≥2，3S_n-4、2a_n、2-S_n-1总成等差数列．
（1）求S_n；
（2）对任意k∈N^*，将数列{a_n}的项落入区间（3^k，3^2k）内的个数记为b_k，求b_k． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∀n≥2，3S_n-4、2a_n、2-S_n-1总成等差数列，
所以，2×2a_n=（3S_n-4）+（2-S_n-1）…（1分）
因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2），所以4（S_n-S_n-1）=（3S_n-4）+（2-S_n-1），
即S_n=3S_n-1-2…（3分）
又因为a₁=2，S_n-1-1≠0，Sn-1Sn-1-1=3Sn-1-2-1Sn-1-1=3，S₁-1=1，
所以数列{S_n-1}是首项等于1，公比q=3的等比数列…（6分）
Sn-1=1×3n-1，即Sn=1+3n-1…（7分）
（2）由（1）得∀n≥2，an=Sn-Sn-1=(1+3n-1)-(1+3n-2)=2×3n-2…（8分）
n=1时，2×3^n-2=2×1=2=a₁，所以，任意n∈N^*，an=2×3n-2…（9分）
任意k∈N^*，由3k＜an＜32k，即3^k＜2×3^n-2＜3^2k…（11分），
（k＜log₃2+（n-2）＜2k，k+2-log₃2＜n＜2k+2-log₃2…（12分）
因为0＜log₃2＜1，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）
n可取k+2、k+3、…、2k+1…（13分），
所以b_k=k…（14分）

解析

Sn-1Sn-1-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．