设函数f=x2+1，g=x，数列{an}满足条件：对于n∈N*，an＞0，且a1=1并有关系式：f-f=g，又设数列

题文

设函数f（x）=x²+1，g（x）=x，数列{a_n}满足条件：对于n∈N^*，a_n＞0，且a₁=1并有关系式：f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1），又设数列{b_n}满足b_n=logaan+1（a＞0且a≠1，n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）试问数列{1bn}是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；
（3）若a=2，记c_n=1(an+1)-bn，n∈N^*，设数列{c_n}的前n项和为T_n，数列{1bn}的前n项和为R_n，若对任意的n∈N*，不等式λnT_n+2Rnan+1＜2(λn+3an+1)恒成立，试求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：因为f（x）=x²+1，g（x）=x，所以f（a_n+1）-f（a_n）=2a_n+1，
g（a_n+1）=a_n+1，由f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1），得a_n+1=2a_n+1，
即得a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=2，
故数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得a_n+1+1=2×2^n-1=2ⁿ，…（4分）
因此数列{a_n}的通项为：a_n=2ⁿ-1，…（3分）
（2）数列{1bn}是等差数列，且公差为log_a2，证明如下：
由b_n=logaan+1，得1bn=log(an+1)a，所以1bn+1=log(an+1+1)a，
故1bn+1-1bn=log(an+1+1an+1)a=log2a（常数），
所以数列数列{1bn}是以1b1=log2a为首项，log2a为公差的等差数列…（6分）
（3）由a=2及（1）与（2）可知c_n=n2n，n∈N^*，1bn=n，
所以R_n=n(n+1)2，
T_n=12+222+323+…+n2n
故有12T_n=122+223+324+…+n-12n+n2n+1
两式相减，12T_n=12+122+123+124+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1，
即T_n=2-12n-1-n2n=2-n+22n，n∈N*…（10分）
所以不等式不等式λnT_n+2Rnan+1＜2(λn+3an+1)，即为λn(2-n+22n)n(n+1)2n＜2(λn+32n)
即（1-λ）n2+（1-λ）n-6＜0恒成立．也即：λ＞n2+n-6n2+2n，n∈N^*恒成立…（12分）
令f（n）=n2+n-6n2+2n，．
则f（n）=n2+n-6n2+2n=1-n+6n2+2n=1-1n2+2nn+6=1-1(n+6)+24n+6-10，
由n+6≥7，得(n+6)+24n+6-10单调递增且大于0，∴f（n）单调递增，当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1，∴实数λ的取值范围是[1，+∞）…（14分）

解析

1bn

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+1，g（x）=x，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．