已知数列{an}满足：a1=2，且an+1=2-1an，n∈N*．设bn=1an-1，求证：{bn}是等差数列；求数列{an}的通项公式；设c

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=2，且a_n+1=2-1an，n∈N^*．
（1）设b_n=1an-1，求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_n+1an，求证：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=2，且a_n+1=2-1an，n∈N^*．
∴a₂=2-12=32，
a3=2-23=43，
a4=1-34=54，
…
猜想an=n+1n．
用数学归纳法进行证明：
①a1=21=2，成立．
②假设n=k时，成立，即ak=k+1k，
则当n=k+1时，ak+1=2-1ak=2-kk+1=k+2k+1，成立．
由①②知，an=n+1n．
∵b_n=1an-1，
∴b_n+1-b_n=1an+1-1-1an-1
=11-1an-11-1an-1
=11-nn+1-11-n-1n
=（n+1）-n=1，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2））∵a₁=2，且a_n+1=2-1an，n∈N^*．
∴a₂=2-12=32，
a3=2-23=43，
a4=1-34=54，
…
猜想an=n+1n．
用数学归纳法进行证明：
①a1=21=2，成立．
②假设n=k时，成立，即ak=k+1k，
则当n=k+1时，ak+1=2-1ak=2-kk+1=k+2k+1，成立．
由①②知，an=n+1n．
（3）∵c_n=a_n+1an，an=n+1n，
∴cn=n+1n+nn+1= 2+1n -1n+1，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）
=2n+1-1n+1＜2n+1．
∵c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）
=2n+1-1n+1=2n+nn+1＞2n．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=2，且an+.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．